2/25(日)に開催された第23回数学カフェ】曲率とは何か——比較定理の観点からに参加してきました。

会場はPreferred Networks社。何かと話題な企業です。講師はStanford大学 Visiting assistant professorの松本佳彦先生(いろいろ事前調査したら僕の弟と同じぐらいの年ではないですか。。。若い。。) 今回はオーディエンスとしてのみならず、当日スタッフとして微力ながらヘルプしました(会場入り口で案内役でした。今回の会場は入り口がなかなか難しくて・・・)

なお、今回は純粋数学の講演では珍しい、スライドが中心な講演でした。なお、スライドはこちらから参照できます。

http://ymatz.net/mc.pdf

以下、話の内容と所感を書いていきます。

講演の内容

1. Reimann 多様体とは

次の曲率の話につなげるためにここでは「測地線」にフォーカスを当てて話していました。Riemann多様体上での測地線の定義は「Levi-Civita接続」とか使わないと定義できないので、ここではまず最初に $\mathbb{E}^2$ , $\mathbb{S}^2$ , $\mathbb{H}^2$ (双曲空間。相対性理論とかに応用されるらしい)をベースに具体的な測地線のイメージを話していました。接続とか局所座標系における測地線の定義・Euler方程式をとけばわかるような内容だったりしますが、直感的には測地線は以下のような感じです。

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ちなみに「測地線の特徴」としては「2点間を結ぶ直線の中で長さが最小のもの」というものです。(ここでは測地線の「定義」については話していない)

予習会のおかげなのか、この辺りはそれなりに主張は理解できたと思います。ただ、 $\mathbb{E}^2$ 以外の測地線の計算がおぼつかないのはなんとも言えないところです。（ものすごく簡単な条件でもいいので、、、ね)

このセクションではもちろん、多様体の定義とリーマン多様体の定義ぐらいは説明してくださっていました。

2. 曲率とは

測地線の摂動ベースでの曲率の定義について話していました。最初の各具体的な空間ベースでの摂動部分の計算から曲率を導き出す。。みたいなところですが、実際見ると「リーマン多様体上での三角形についての議論」をしているみたいでした。( $\mathbb{S}^2$ , $\mathbb{H}^2$ とかの三角形を見ると、もう通常の「三角形の角度の和は180度である」という事実が成り立たないことがぱっと想像つくでしょう。。。)

これは $\mathbb{S}^2$ f:id:maestro_L_jp:20180304021108p:plain

これは $\mathbb{H}^2$ f:id:maestro_L_jp:20180304021134p:plain

漸近展開等駆使してある特定の項の係数を使って曲率を定義しています。このあたりの定義の仕方から「ばねに引っ張られる度合い」を使って説明するのも納得が行く気がします。( $\mathbb{H}^2$ とかの応用例考えると、「事実大きく曲がったのが曲線と捉えるのは高速回転による慣性力が大きく寄与している」部分がバネの引っ張り度合いとある意味で似ているかもしれない。以下のURLの「物理への応用」というところを読むといいかも双曲幾何学 - Wikipedia)

三角形ととらえてやるやり方より、測地線全体で摂動を考えて、摂動部分をベクトル場みたいな形で捉える「Jacobiベクトル場」ベースでの考え方のほうが楽だ、ということでこちらについての議論を後半やっていました。ごちゃごちゃ式をいじるとJacobiの方程式が得られるわけですが、これはもう完全にバネの方程式です。。。本当にありがとうございました。

あ、この辺りからオーディエンスからの質問がぽこぽこ飛んできており、議論がデッドヒートしてたりしました(今回微分幾何に造詣が深い方が多く参加されていた印象です)

3.1. 曲率の役割(前半・比較定理)

Rauchの比較定理、Bonnetの比較定理、Myersの定理、球面定理などメジャーどころ？と言われている定理を紹介されていました。Rauchの比較定理は空間の曲がり度合いの比較についての定理みたいでしたが、、、ちと主張が初学者には理解するのが大変かもです(先生の説明はうまかったと思います、念のため) そういう意味では Bonnetの比較定理など、「曲率比較だけで空間のコンパクト性がズバッと言えてしまう」という主張がはっきりしている方がインパクトは強く感じました。

Cartan-Hadamardの定理とかは、、、もう主張が結構強いなーというイメージです。

これが、Cartan-Hadamardの定理の主張。

$(M, g)$ を $n$ 次元完備 Riemann 多様体であって，単連結，さらに $K \leq 0$ を満たすようなものとする。そのとき $M$ は $R^{n}$ に微分同相.

最後に「なぜ単連結が必要か？」というのをわかりやすく説明されていました。トーラスとか使うと確かにわかりやすかったです。

3.2. 曲率の役割(後半・無限遠境界)

すみません、ここからはもう僕は完全には理解しきれていませんでした。無限遠境界というCartan-Hadamard多様体(Cartan-Hadamardの定理の条件を満たす多様体)上で定義されるものについての話。原点から引いた半直線(測地線です)のその先で構成される空間のことです。 $\mathbb{E}^2$ とかだと半直線の傾きだけで決まるので $\mathbb{S}^1$ みたいなもんです。 (この辺りの話を聞くとアフィン空間と射影空間における無限遠みたいな話と酷似しているなー感じました。)

いろいろ面白そうな主張のする定理を紹介されていましたが、、、僕のおつむが完全についていけず紹介しきれません。。。記事前半に紹介している資料の最後のほうに載ってます。

所感

微分幾何をちょろっとでもいいから勉強するきっかけを与えてくれた勉強会で新しい分野に対する理解を広げるという意味では本当によかったと思います。具体的には…

・測地線についての概念と「接続」についてのイメージレベルでの理解が得られたこと

・曲率と比較定理についてうわべだけでもいいので理解できたこと。

でしょうか。解析畑でずっとやっているとどうしてもこの辺りってあまり勉強しきれてなかったりするんです。僕は。

あと、幾何の講演とかはやっぱり絵を使ってイメージをさせながらやったほうが理解されやすいんだなー、と同時に感じました。(あと、 $\mathbb{E}^2$ , $\mathbb{S}^2$ , $\mathbb{H}^2$ のある意味での使い勝手の良さとか) ちなみに完全に理解したいという方は予習会などでしっかり学んで、微分幾何脳をストレッチさせておくといいかもしれません(汗)

懇親会はアルコールなしの懇親会。お菓子をつまみながら数学とかなんとかの話をするというライトなものでした。

トータルで見てこの勉強会は色々な意味で新鮮な体験をさせていただきました。ある意味で新鮮だったのは当日スタッフとして貢献できたことでしょうか。

次回は3/10なのでこちらも楽しみにしています！実験数学ということで具体的な現象を目で観れるということでしたが、、、どういう言語とかフレームワークを使ってプログラムを書いているかはちょい気になります(汗)(Githubとかに公開してくれると、、、うれしいです、、、)

最後に・・・

この記事で貼り付けた画像は松本先生が用意してくださった資料から抜粋したものです。(許可なしに切り取ってあっぷして申し訳ございません。まずかったら連絡いただけると助かります。)

最後に松本先生自身の記録も共有させていただきます。

「数学カフェ」講演備忘録 | 松本佳彦のページ

LyricalMaestro Tech Memo

【第23回数学カフェ】曲率とは何か——比較定理の観点からに参加してきました。