数学カフェAdvent Calender 12/13分です。

前回の記事に引き続き今回も関数解析関連のトピックです。

今回はWeyl-von Neumannの定理について紹介します。

Thm (Weyl-von Neumann)

可分な無限次元Hilbert空間 $\mathscr{H}$ 上の有界自己共役作用素 $H$ と正の数 $\epsilon \gt 0$ に対して、 $$ H = D + K , \ \ \ \ \ \Vert K \Vert \lt \epsilon $$ となる有界自己共役対角作用素 $D$ とCompact作用素 $K$ が存在する。

関数解析復習会でCompact作用素とFredholm作用素について取り扱っていたので、これらの考えを応用させた定理を紹介してもいいのでは？というのでこの定理の紹介をすることにしました。

前提知識は関数解析復習会でやった内容(黒田の関数解析)と前回の私のブログの記事でしょうか。

参考文献等はこの記事の後半で紹介します。

Weyl-von Neumannの定理は何を意味しているか?

この定理の意味を説明する前にまず定理に出てくる用語の説明をします。

Def

可分な無限次元Hilbert空間 $\mathscr{H}$ 上の有界線型作用素 $D$ について、

$$ Dx = \sum_{n=0}^{\infty} \lambda_n \langle x, e_n \rangle e_n \ \ \ \ {}^\forall x \in \mathscr{H}$$ となる完全正規直交基底 $\lbrace e_n \rbrace_n$ と有界数列 $\lbrace \lambda_n \rbrace_n$ が存在する場合、 $D$ を有界対角作用素と呼ぶ。

この定義上で出てくる $\lbrace e_n \rbrace_n$ を使って $x \in \mathscr{H}$ は $l^{2}$ の元 $\lbrace c_n \rbrace_n$ を用いて

$$ x = \sum_{n=0}^{\infty} c_n e_n $$

と記述できます。この上で定理の等式を書き直すと、

$$ D(\sum_{n=0}^{\infty} c_n e_n) = \sum_{n=0}^{\infty} \lambda_n c_n e_n \ \ \ \ {}^\forall \lbrace c_n \rbrace_n \in l^{2}$$

と書くことができます。

これは、対角作用素は基底の取り方によって掛け算作用素と同等の振る舞いをする作用素であることを意味します。

さて、全ての線型作用素が対角作用素の条件を満たすとは限りません(たとえ有界という条件があったとしても)。しかし、Weyl-von Neumannの定理は有界自己共役作用素であれば、適切なCompact作用素の差をとると有界自己共役対角作用素になる、有界自己共役作用素は有界自己共役対角作用素でノルム近似できるということを主張しています。この定理の意味は、一般の線型作用素を対角作用素(掛け算作用素)の問題に帰着させて解くことができる、という論法を保障する、という風にとることもできます。

Weyl-von Neumannの定理の証明のアウトライン

まず、条件の一つである $\mathscr{H}は可分$ というところから $\overline{\lbrace x_n \mid n=1,2,… \rbrace} = \mathscr{H}$ となる点列 $\lbrace x_n \rbrace_n$ が取得できます。

この点列 $\displaystyle \lbrace x_n \rbrace_n$ についての帰納法を用いて以下の条件を満たす有限次元Hilbert部分空間の列 $\displaystyle \lbrace \mathscr{H}_n \rbrace_n$ と各 $\mathscr{H}_n$ 上の自己共役作用素(エルミート行列) $D_n$ を取ってきます。

各 $\mathscr{H}_n$ たちは互いに直行する。すなわち $n \ne m$ なら $\mathscr{H}_n \perp \mathscr{H}_m$
各 $x_n$ について $x_n \in \oplus_{k=0}^N \mathscr{H}_k$ となる自然数 $N$ が存在する。
$\mathscr{H}_n$ への射影作用素を $P_n$ とすると、 $\displaystyle \Vert T P_n - D_n \Vert \le \frac{\epsilon}{2^n}$

これは少しずつ $T$ を「行列成分の対角化」しているイメージです。

f:id:maestro_L_jp:20171213234753p:plain

この $D_n$ を並べたものを $D$ とすると、各 $D_n$ が当然対角化可能だから $D$ は自己共役でかつ有界な対角作用素になります。そして、 $T-D$ の差がCompact作用素であり、かつ $\Vert T-D \Vert \le \epsilon$ であることを示せばOKです。

ここまでアウトラインを述べましたが、きちんと数学的に厳密に示すには以下のことを示さなければいけません。

(1) そもそも要求通りの有限次元Hilbert部分空間の列 $\displaystyle \lbrace \mathscr{H}_n \rbrace_n$ と各 $\mathscr{H}_n$ 上の自己共役作用素 $D_n$ が取れるのか？

(2) $D_n$ の「貼り合わせ」が存在するか?

(3) $T-D$ の差がCompact作用素であり、かつ $\Vert T-D \Vert \le \epsilon$ であるか。

(1)について

これを示すために登場するのが「有界自己共役作用素のスペクトル分解定理」です。この定理から $T$ に付随するスペクトル族 $E_t$ がとれます。このスペクトル族と幅が $\epsilon$ の区間 $\triangle_i$ たち(この「互いに交わらない」区間は有限個)で構成された階段関数 $f_i := \sum_i \lambda_i 1_{\triangle_i} \ (\lambda_i \in \triangle_i)$ であらたな作用素 $D'_1$ を構築します。

(厳密には $D'_1 = \int f_i(t) E_t$ で作用素を定義します。)

そして、 $x_1$ にたいして、 $\displaystyle \mathscr{H}_{1} := \overline{span} \lbrace E(\triangle_i) x_1 \rbrace$ とするとこれは有限次元Hilbert空間になります。構成法から当然 $\displaystyle \Vert T P_n - D_n \Vert \le \frac{\epsilon}{2}$ が成り立ちます。

次に $x_2$ について考えます。生まんま $x_2$ を使わずに $y_2 := (I - P_1) x_2$ を使う。もし、 $y2 = 0$ なら次の $x_3, x_4, …$ と $y2$ が非ゼロとなるまでindexを増やし続けます(大元のHilbert空間が無限次元なので、どこかのindexで必ず要件を満たす $x_n$ がとれます！)

$y2$ が非ゼロとなる $x_n$ について、先ほどの議論で幅をさらに小さくした区間で構築した階段関数と作用素、Hilbert空間を作っていけばOKです。こういう議論を繰り返して構成していけばOKです。

(2)について

点列 $\lbrace x_n \rbrace_n$ の作り方と、 $\mathscr{H}_n$ の作り方から $\oplus_{k=0}^{\infty} \mathscr{H}_k = \mathscr{H}$ を示すことができます。これをベースに $D := \sum_{n=1}^{\infty} D_n P_n$ と定義するとこれは作用素強収束し、これが有界自己共役対角作用素になります。

(3) について

$$ T - D = (T - D )( \sum_{n=0}^{\infty} P_n) = \sum_{n=0}^{\infty}(TP_n - D P_n) = \sum_{n=0}^{\infty}(TP_n - D_n)P_n $$

より、

$$ \Vert T - D \Vert = \sup_{n} \Vert (TP_n - D_n) \Vert \le \epsilon $$

が成り立ちます。さらに、十分大きな $m, k$ について

$$ \Vert \sum_{n=m}^{k}(TP_n - D_n)P_n \Vert \le \frac{\epsilon}{2^m} $$

が成り立ちます。Rangeが有限次元の作用素の作用素ノルムの意味でのCauchy列の極限作用素はCompact作用素なので、 $T - D$ はCompact作用素になります。

Weyl-von Neumannの定理の応用とその証明(のアウトライン)

この定理の応用例として以下の定理を証明していきます。この定理は実はC*環の理論やK理論とかで応用される定理だったりします（具体的な部分については知識不足でそこは紹介できませんが・・・)

Thm 有界自己共役作用素 $T,S$ について以下の二つは同値。

(1) $\sigma_{\mathrm{ess}} (T) = \sigma_{\mathrm{ess}} (S)$

(2) 等式 $T - USU^* = K$ を満たすユニタリー作用素 $U$ とCompact作用素 $K$ が存在する。

Step1 (2)から(1)を示す。

Fredholm作用素とCompact作用素の和はFredholm作用素になることから、

$\sigma_{\mathrm{ess}} (T) = \sigma_{\mathrm{ess}} (USU^*)$

が言えます。また、Fredholm作用素とユニタリ共役な作用素もまたFredholm作用素になるので(Fredholm作用素であるための必要十分条件の等式の両側からそれぞれ $U$ , $U^*$ をかけてあげれば証明できます)、

$\sigma_{\mathrm{ess}} (U) = \sigma_{\mathrm{ess}} (USU^*)$

が成り立ります。したがって(1)が証明できたことになります。

Step2 (1)が成り立つと仮定します。Weyl-von Neumannの定理からこの問題は有界自己共役対角作用素の問題に帰着させることができます。

また、

$\sigma_{\mathrm{ess}} (T)$ に属さないスペクトル $\lambda$ は、孤立点でその固有空間の次元は有限次元。
有界線型作用素のスペクトル集合はcompactだから、孤立点は高々有限個。

という事実から $\sigma_{\mathrm{ess}} (T)$ に属さないスペクトルの固有空間の和空間は有限次元なので、この上だけで有効なCompact対角作用素分「ずらし」て、 $\sigma_{\mathrm{ess}} (T') = \sigma (T')$ とすることができます。したがって、 $\sigma_{\mathrm{ess}} (T) = \sigma (T)$ と仮定して証明しても問題ないことがわかります。

Step3 掛け算作用素におけて、 $\sigma_{\mathrm{ess}} (T) = \sigma_{\mathrm{ess}} (S)$ ならばその集合に属するスペクトルに付随する固有空間は0か一律可算無限になります。(固有空間が0の場合は、スペクトルが集積点であることを意味しているので、近傍に無限次元な固有空間を持つスペクトルがいくらでも取れます)