【自主セミナー】ベイズ統計オフラインセミナー第4回

開催日付: 2018/1/8

今回やった内容の範囲: ThinkBayes 第3章 「推論」

今回は初めて「オフライン」でやりました!場所はyahooロッジ。

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2018年の抱負

あけましておめでとうございます。 今年もよろしくお願いいたします。

ここで1年の抱負を記載しようかと。 ここ数年はFacebookに書いていたんですが…流れてしまって「振り返り」ができなくて困るんですよ。 ということで今回はここに書いてみようかと思うのです。

早速抱負を書いていきましょう。

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2017年を振り返る

このブログにしては珍しくこの1年を振り返ります。

以下の記事での補足を年内にやります!って言いましたが忙しくてやれず・・・。楽しみにしていた方々申し訳ありません。。。 lyricalmaestrojp.hatenablog.com

その代わり、今回の記事を見て、こんなことがあったなー、ぐらいに見ていただければ幸いです。

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関数解析復習会のその先「Weyl-von Neumannの定理」

数学カフェAdvent Calender 12/13分です。

adventar.org

前回の記事に引き続き今回も関数解析関連のトピックです。

lyricalmaestrojp.hatenablog.com

今回はWeyl-von Neumannの定理について紹介します。

Thm (Weyl-von Neumann)

可分な無限次元Hilbert空間\mathscr{H}上の有界自己共役作用素Hと正の数\epsilon \gt 0に対して、 $$ H = D + K , \ \ \ \ \ \Vert K \Vert \lt \epsilon $$ となる有界自己共役対角作用素DとCompact作用素Kが存在する。

関数解析復習会でCompact作用素とFredholm作用素について取り扱っていたので、これらの考えを応用させた定理を紹介してもいいのでは?というのでこの定理の紹介をすることにしました。

前提知識は関数解析復習会でやった内容(黒田の関数解析)と前回の私のブログの記事でしょうか。

参考文献等はこの記事の後半で紹介します。

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掛け算作用素でCompact作用素・Fredholm作用素の理論を展開する

数学カフェ Advent Calendar 12/11分の記事です。

1. はじめに

みなさま、こんばんは。まえすとろ(@maestro_L_jp)です! 僕は学生の頃数学科で数学の勉強をしていました。その中で大学院では作用素環論を専攻していました。作用素環論は「Hilbert空間上の有界線型作用素たちから構成される環の構造について調べる理論」です。この分野について勉強するために関数解析の必須の知識となります。なので、ある程度の知識は有していたりします。 そして、数学カフェで何回かに渡り、関数解析の予習会+復習会が開催され私もそのうち何回か参加させていただきました。そこでCompact作用素とFredholm作用素についてのトピックを扱っていたので、これを使った題材で書こう!と思った次第です。 とはいえ、今は(昔からだったかもですが)最先端の内容を話すことできないので、Compact作用素、Fredholm作用素の議論を、掛け算作用素でやったらどうなるか、ということについて書いていこうかと思います。自分はこの掛け算作用素に帰着して一般的な作用素の議論を理解してきました。関数解析作用素論とか勉強する人にとって中身をしっかり味わうための触媒的なものになれば幸いです。

ここから口調が数学のテキストっぽくなります。 あと、第3章以降の命題・定理の証明は以下のpdfファイルにまとめてあります。ちょっと乱調気味ですがご了承ください。 https://drive.google.com/open?id=1mVHh0MzljqHZdNq7Nz2Iq2WWt5SFqJOO

なお、今回は話を簡単にするためBanach空間でなく同一のHilbert空間上の線型作用素に限定してお話しさせていただきます。

2. 今回取り扱う概念の定義と命題・定理

Def 2.1. Hilbert空間 \mathscr{H} から\mathscr{K} への線型作用素Tが以下の条件を満たす時、T有界である(有界線型作用素 or 連続線型作用素)と定義する。

$$ {}^\exists M > 0 \ \ \ s.t. \ \ \ {}^\forall x \in \mathscr{H} \ \ \ \Vert Tx \Vert \leq \Vert x \Vert $$

このとき、Tのノルムを\displaystyle \Vert T  \Vert \equiv \sup_{ \Vert  x \Vert = 1 }  \Vert Tx \Vertと定める。 また、 \mathscr{H} から\mathscr{H} への線型作用素 \mathscr{H} 上の線型作用素 という。


Prop 2.2. Hilbert空間 \mathscr{H} から\mathscr{K} への線型作用素Tについて以下は同値。

(1) T有界である。

(2) \displaystyle  \lbrace x_n \rbrace_n  \mathscr{H} の収束列ならば、\displaystyle  \lbrace Tx_n \rbrace_n  \mathscr{K} の収束列で、\displaystyle \lim_{ n \to \infty } Tx_n = Tyが成り立つ。

(ただし、\displaystyle \lim_{n \to \infty}  x_n = y 。)


Def 2.3. Hilbert空間 \mathscr{H} から\mathscr{K} への線型作用素Tが以下の条件を満たすとき、TCompact作用素である(あるいは完全連続線型作用素)と定義する。

\displaystyle  {}^\forall  \lbrace x_n \rbrace_n : \mathscr{H} の有界点列  \   {}^\exists \lbrace x_{n(k)} \rbrace_k  :  \lbrace x_n \rbrace_n の部分列   \ \ \  s.t.  \ \ \   \lbrace  Tx_{n(k)}  \rbrace_k は  \mathscr{K}  の収束列


Prop 2.4. Compact作用素有界線型作用素である。


Def 2.5. Hilbert空間 \mathscr{H}上の有界線型作用素Tについて、以下の条件を満たす有界線型作用素T^*T共役作用素という。

$$ \langle T^* x, y \rangle = \langle x, Ty \rangle \ \ ( {}^\forall x, y \in \mathscr{H})$$

特に、T^*=Tが成り立つ時、T自己共役作用素という。


Prop 2.6. 有界線型作用素Tに対する共役作用素T^*は一意に存在する。


Def 2.7. Hilbert空間 \mathscr{H}上の有界線型作用素Tが以下の3つの条件を満たす時、TFredholm作用素であると定義する。

(1)  \mathrm{ Ker} Tは有限次元。

(2)  \mathrm{ Ker} T^*は有限次元。

(3)  \mathrm{ Range} T\mathscr{H}の閉部分空間。


Prop 2.8. 有界線型作用素TがFredholm作用素である必要十分条件は、 $$ ST = I - K, \ \ \ TS' = I - K'$$

となる有界線型作用素 S, S'とCompact作用素 K, K'が存在することである。(ただし、Iは恒等作用素である。以後、Iは恒等作用素とする)


Def 2.9.

(1) 複素数 \lambda有界線型作用素  \lambda I - Tについてが可逆な有界線型作用素を持つ時、 \lambda有界線型作用素 Tゾルベントという。 Tのレゾルベント全体の集合を \rho( T ) と書く。

(2)  \mathbb{ C } \setminus \rho( T )  Tスペクトル集合といい \sigma (T)と書く。 \sigma (T)の元を Tスペクトルという。

(3)  Tのスペクトル \lambdaについて、 ( \lambda I - T) x = 0となる非ゼロのベクトル xが存在する時、この \lambda点スペクトル(いわゆる固有値)といい、点スペクトル全体の集合を \sigma _{\mathrm{ p} } (T)と書く。 \mathrm{Ker}( \lambda I - T)をスペクトル \lambdaに対する固有空間という。

(4)  Tのスペクトル \lambdaについて、 ( \lambda I - T) 単射かつ \mathrm{Range}( \lambda I - T) \mathscr{H}の中で稠密だが、 ( \lambda I - T) ^{-1}有界でない場合、この \lambda連続スペクトルといい、連続スペクトル全体の集合を \sigma _{\mathrm{ c} } (T)と書く。


Thm 2.10. (Fredholm Alternative)

Compact作用素  Tについて以下のどちらかが必ず成り立つ。

  1.  I - Tは可逆な有界線型作用素を持つ。

  2. \displaystyle  \mathrm{Ker}(I - T) \neq  \lbrace 0  \rbraceでかつ有限次元。


Prop 2.11. (Compact作用素のスペクトル)

・Compact作用素のスペクトル集合は0以外の集積点を持たない。

・Compact作用素のスペクトル  \lambda ( \neq 0) について、  \lambdaの固有空間は有限次元。


Def 2.12.

複素数  \lambda有界線型作用素  Tについて、 \lambda I - TがFredholm作用素にならない時、  \lambda有界線型作用素  T本質的スペクトルといい、本質的スペクトル全体の集合を \sigma _{\mathrm{ess} } (T)と書く。


有界線型作用素はどんなものかはイメージしやすいが、Compact作用素やFredholm作用素上記の命題・定理などは初学者にとってはイメージしづらいものである。次の章で「数列空間上の掛け算作用素」をベースにした議論を行い本章で紹介した定義・命題・定理などを理解しやすい形に昇華していく。

3. 掛け算作用素についての基本的な性質

以下、Hilbert空間として複素数列空間 \displaystyle  l^{2} = \lbrace  \lbrace x_n \rbrace_n  \ \mid  \  \sum_{n = 1}^{\infty} |x_n|^{2}  \lt \infty \rbraceを取り扱う。

Prop 3.1. \displaystyle c := \lbrace c_n \rbrace_n\displaystyle l^{\infty} (:=  \lbrace  \lbrace x_n \rbrace_n  \ \mid  \  \sup_n |x_n|  \lt \infty \rbrace)上に属する複素数列とする。

線型作用素 M_c

$$ M_c x := \lbrace c_n x_n \rbrace_n \ \ \ \ ( x \in l^{2})$$

とすると、 M_c有界線型作用素である。

この M_c掛け算作用素という。

以下、掛け算作用素の基本的な性質を紹介する。


Prop 3.2. (掛け算作用素の和・スカラー倍・積)

 c, d \in l^{\infty}, \alpha \in \mathbb{ C } について、以下が成り立つ。

(1)  M_c + M_d = M_{c+d}

(2)  \alpha M_c = M_{\alpha c}

(3)  M_c M_d = M_{cd}


Prop 3.3. (掛け算作用素の共役作用素)

\displaystyle c = \lbrace c_n \rbrace_n \in l^{\infty} について、 M_cの共役作用素 M_{\bar{ c } }である。 ただし、\displaystyle  \bar{ c }  := \lbrace \bar{ c_n } \rbrace_nである。


Prop 3.4. 掛け算作用素 M_cが自己共役作用素であるための必要十分条件 cが実数列であることである。

4. 掛け算作用素上でのCompact作用素・Fredholm作用素の理論

まず、掛け算作用素がCompact作用素になる条件を条件を与える。これをベースにCompact作用素、Fredholm作用素にまつわる諸定理との関連を述べる。

Prop. 4.1.

掛け算作用素 M_cがCompact作用素になる必要十分条件\displaystyle c = \lbrace c_n \rbrace_nが0に収束する数列になることである。


この命題から言えることは、Compact掛け算作用素を取り扱う際、0に収束する数列をイメージしていけばOKということになる。(ここから得られた知見は、掛け算作用とは限らないCompact作用素について取り扱う時の道しるべになったりする) 数列は横軸にindex, 縦軸に項の値をとる座標を考えると、実数列\displaystyle c = \lbrace c_n \rbrace_nの絶対値は図にプロットできる(図1)。

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これだけでも数列の振る舞いはわかる。プロットした点を結ぶようにグラフを書くと、nを十分大きくしていったときの振る舞いがわかりやすくなる(図2)。

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Compact自己共役掛け算作用素 M_cに対応する収束列\displaystyle c = \lbrace c_n \rbrace_nは以下のように図示できる(図3)。

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ここで、作用素I - M_cを考える。この作用素は掛け算作用素になり対応する数列 d\displaystyle  \lbrace 1 - c_n \rbrace_nとなる。 M_cがCompact作用素なら、\displaystyle  \lbrace c_n \rbrace_nは0への収束になるので、 dは1への収束列になる。図4に dを図示したものを表示させる。

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この図から見えてくるのは、「nが十分大きくした場合、数列の値は「1」との距離が0.5以下になる」ということである。 M_cが可逆かどうかはindexが若い有限個の項だけみていいだろうとあたりがつく。このことは以下に定理としてあげる。

Thm 4.2. (掛け算作用素版Fredholm Alternative) Compact掛け算作用素  M_cについて以下のどちらかが必ず成り立つ。

  1.  I - M_cは可逆な有界線型作用素を持つ。(数列\displaystyle  \lbrace 1 - c_n \rbrace_nは0に値をとることはない)

  2. \displaystyle  \mathrm{Ker}(I - M_c) \neq  \lbrace 0  \rbraceでかつ有限次元。(数列\displaystyle  \lbrace 1 - c_n \rbrace_nで、0に値を取る項は高々有限個存在する。)


掛け算作用素がFredholm作用素になる条件を条件を与える
Prop.4.3. 掛け算作用素がFredholm作用素である必要十分条件は、以下の2つを満たすことである。

(1) 対応する数列の集積点に0を含まないことである。

(2) 対応する数列の中で0に値をとる項は高々有限個。


自己共役掛け算作用素に対応する数列について以下に図示する。Fredholm作用素である例とそうでないものの例を図示する(図5)。

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以下の命題はProp 2.8. の掛け算作用素版である。別資料に証明は記載するが、Fredholm掛け算作用素の場合は、点列ベースで考えていけば直感から外れることなく、かつ数学的に厳密な方法で証明できる。


Prop 4.4. 掛け算作用素M_cがFredholm作用素である必要十分条件は、 $$ M_d M_c = I - M_k, \ \ \ M_c M_{d'} = I - M_{k'}$$

となる d, d' \in l^{\infty}と0への収束列 k, k'が存在することである。


掛け算作用素のスペクトルについても議論する。

Prop 4.5.

掛け算作用素 M_cのスペクトルについて以下が成り立つ。

  \sigma (M_c) = \overline{ \lbrace  x_n  \mid n = 1, 2, …  \rbrace }

 \sigma_{\mathrm{p} } (M_c) = \lbrace x_n  \mid n = 1, 2, …  \rbrace

 \sigma_{\mathrm{c} } (M_c) = \sigma (M_c)  \setminus  \sigma_{\mathrm{p} } (M_c)

が成り立つ。(補足すると \sigma_{\mathrm{c} } (M_c) は数列のとる値の集積点の中で、実際に値を取る項が存在しない。)

Ex 4.6.

数列 \displaystyle  c = \lbrace \frac{n}{n+1} \rbrace_nに対応する掛け算作用素 M_cについては

 \sigma (M_c) = \lbrace  \frac{n}{n+1}  \mid n = 1, 2, …  \rbrace \cup  \lbrace  0  \rbrace

 \sigma_{\mathrm{p} } (M_c) = \lbrace  \frac{n}{n+1}  \mid n = 1, 2, …  \rbrace

 \sigma_{\mathrm{c} } (M_c) = \lbrace  0  \rbrace

となる。以下に数列   cについて図示する。以下の図で点スペクトルが実際数列の項がとる値、連続スペクトルが収束先になることも図示する(図7)。

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これは掛け算作用素のスペクトルについて調べるには数列のとる値を調べていけばいいということを主張している。

掛け算作用素については以下のことも言える。

Prop 4.7. 掛け算作用素におけるスペクトルの固有空間の次元はその値をとる数列の項の数である。

この事実とCompact掛け算作用素が0への収束列に対応することから、以下の定理が成り立つ。

Thm 4.8. (Compact掛け算作用素のスペクトルと固有空間)

・Compact掛け算作用素のスペクトル集合は0以外の集積点を持たない。

・Compact掛け算作用素のスペクトル  \lambda ( \neq 0) について、  \lambdaの固有空間は有限次元。

Prop 4.9. (掛け算作用素の本質的スペクトル)

掛け算作用素 M_cの本質的スペクトルについて以下が成り立つ。

  \sigma_{\mathrm{ess}} (M_c) =  \lbrace  \lambda \in \mathbb{C}  \mid \lambda = c_n となる nが無限個  \rbrace  \cup  \lbrace   \lambda \in \mathbb{C}  \mid    \lambda は \lbrace c_n \mid n = 1, 2, …  \rbrace の集積点   \rbrace


自己共役掛け算作用素 M_cに対応する実数列 \lbrace c_n  \rbrace_n を図示して本質的スペクトルがどういうものかイメージしやすいようにしておく(図8)。

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5. まとめ

いかがだったでしょうか。掛け算作用素ベースでCompact作用素やFredholm作用素を扱うと意外と敷居が低くイメージしやすいと思います。この帰着によって私は作用素論の理解を深めていきました(ただし、万人にこの方法で以下はまた別問題…)

特に一番このイメージが効いたのは以下の定理の証明を読み解いていくときである。(というか、修論もこのイメージがなければ書けなかった。。)

Thm 有界自己共役作用素T,S について以下の二つは同値。

(1)   \sigma_{\mathrm{ess}} (T) = \sigma_{\mathrm{ess}} (S)

(2) 等式  T - USU^* = Kを満たすユニタリー作用素UとCompact作用素 Kが存在する。

この定理はWyle - von Neumann の定理の応用として、次のAdvent Calenderで証明していきます。

【自主セミナー】ベイズ統計オンラインセミナー第3回

開催日付: 2017/11/11

今回やった内容の範囲: ThinkBayes 第2章

今回は友人に発表をお願いしました(なので友人が資料をアップしない限り、資料の共有はなし。)

今回は計算機統計ということでPython3ベースのコードを使ってベイズの問題を解くとどうなるか?というのをやりました。基本的にはPythonになれましょう!というのと、第1章で取り扱った内容を復習しましょうという感じでした。

M&M問題を解くときに出てきた、「ベイズ更新」的に表を二つ重ねていたところは面白かったと思います。ベイズ計算をまとめて1つにするケースと1つずつn回やるケースで条件が一緒なら答えは一致するというのもわかって面白かったです(プログラム的には後者のスタンスで書いてあったので)

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この章の最後に演習問題があるのだが…初めてPYthonの派生クラスのメソッド(オーバーライド先)からオーバーロード元のメソッドを呼ぶ方法を知りました。Python2と3でだいぶ違いましたが。。。

www.lifewithpython.com

次回(2018/1/8予定)は3章をやります。しかも!久々におふらいんでやります。オフラインでやる特典として数学色を強めに出していきます。

【自主セミナー】ベイズ統計オンラインセミナー第2回

開催日付: 2017/11/11 今回やった内容の範囲: ThinkBayes 第1章

あ、いきなり書いていますが、これ、内輪でやっている自主セミナーの記録です。 テキストはThinkBayesってやつ。

https://www.amazon.co.jp/Think-Bayes-%E2%80%95%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%9E%E3%81%AE%E3%81%9F%E3%82%81%E3%81%AE%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%85%A5%E9%96%80-Allen-Downey/dp/4873116945

こちらが今回使ったセミナーの資料。

www.slideshare.net

基本的にやったことは ・Bayesの定理を元に問題を解く手順の紹介 ・実際手順通りにいくつかの問題を解く。 といった感じのことでした。

なんとなくみなさん解くのに慣れていただいたみたいです(+自分でアレンジした方法の不備があったのでそれの修正も行うことができました。)

次回は2章、3章をやります。